突然对群论里的「等于」有点疑惑
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比如说，当我们论证一个群 G 的单位元 e 是唯一的，课本上应该都是这么写的：
如果有两个单位元，分别叫 e1 e2，那么根据单位元性质，有
e1 = e1e2 = e2，从而其实就是同一个元素。
但是回头看二元运算的定义，是一个集合上的有序对到集合自身的映射，在上面的例子中，其实应该说的是，e1e2 根据映射的定义只能映到一个元素上，但是根据单位元性质它同时映到 e1 和 e2 上，所以它们只能是同一个元素。这并不是通过等于号的传递性得到的。那么很多时候用一串等号来证的东西会不会需要把等于的传递性声明一下呢。。。。。。这好像也不能直接说是一个等价关系，which 按照定义天然具有传递性 -
在这里等号就是你想象中那个等号，不用再证一次，不然写个数字乘法等式也得证一遍就太麻烦了……
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学数学不用注意这些细节
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@lemma_ 不是麻烦不麻烦的事，就比如说群单位元这东西，我要是懒，也可以直接搁定义里钦定群就一个单位元，爱咋咋地，但是有了证明我们可以知道，其实群单位元只有一个这事不需要塞定义里
所以我想知道的是有没有一种抽象的方式可以概况这里等号的传递性是合法的，就比如群的抽象定义概况了实数上的加法和正实数上的乘法那样。
等号两边的东西是可以安心地互换的「相同」的东西，虽然是很容易习惯的事情，但是一想到一个连接二元运算和运算结果的等号实际上是个映射，而这种映射一般来说都是非单射这事，我现在有点感觉没那么理所应当
再比如高中生都很容易习惯导数的几条规则并且导对，但是数分中从一些比较基础定理出发盖数学别墅，还是有必要的，是吧 -
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@wumingshi 非常严格地说，这里的等于号就是集合论意义上的等于。本身映射的定义就要求了像（在集合论意义下）的唯一性，也就是 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 的等号完全是集合论意义上的相等，并不需要引入其他的等于号含义。同样的，e1=f(e1,e2)=e2e_1 = f(e_1, e_2) = e_2e1=f(e1,e2)=e2 两侧也严格的是集合论层面的相等，从而传递性等等是自明的。
这倒是一个很好的例子说明为什么一个映射一定会要求像唯一，否则 f(x)f(x)f(x) 之类的符号就会到处是坑了（ -
@yhtq 当然代数里有时会用到一些并不那么严格（或者严格起来很麻烦的）等于号，比如很经典的商结构之中同一个商集中的元素也可以认为“相等”（当然可以严格化成元素对应的集合相等）或者同构的结构中相对应的元素。这种等于号细究起来可能确实需要利用代数性质去验证各种替代性等等，但是这种替代性只是仅限于某种结构之中的，而集合论层面的相等基本可以认为是在哪出现都相等（：
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这里等号就是一阶逻辑里的等号啊
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可以认为和函数不同，就是符号，按照那套系统算就行
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@yhtq 有道理，那就没毛病了
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硬要说的话，等于的意思是如果元素A和元素B相等，那么对任意一个有元素A的命题，用元素B替换元素A都不改变命题真假性（"不改变"指命题同为真或者同为假）
当然这个解释还是马马虎虎，但是人类数学毕竟没法脱离人类语言 -
@yhtq 这个是说各种等价关系了，我感觉lz只是想说纯粹集合论意义下的等于
