希尔伯特《几何公理》（补充欧几里得五条公理的缺漏）

lebegue

@admin ok，感谢管理员

admin

摘要感觉比较麻烦（其实summary这个特性创站的时候就考虑过），但是现在看来实现似乎不太简单，可能要看看markdown语法分析器或者html输出的角度入手，还得修改前端的输出……这个得等站长研究一下了

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第二组公理：顺序公理

直线顺序公理：

若一点 B 在一点 A 和一点 C 之间，则 A， B 和 C 是一直线上的不同的三点，这时，B 也在 C 和 A 之间。
对于两点 A 和 C，直线 AC 上恒有至少有一点 B，使得 C 在 A 和 B 之间。
一直线的任意三点中，至多有一点在其他两点之间。

平面顺序公理：

设 A， B 和 C 是不在同一直线上的三点：设 a 是平面 ABC 的一直线，但不通过 A，B， C 这三点中的任一点，若直线 a 通过线段 AB 的一点，则它必定也通过线段 AC 的一点，或线段 BC 的一点。

这里要特别注意第二组公理第2条的叙述，事实上是说“AC延长线上必存在一点B”，而不是说“线段AB上必存在一点C”。
第4条平面顺序公理，用楼主的话来说就是“和三角形一边相交但不过三角形顶点的直线必和另一边相交”。这条公理在几何上是直观的，不过读者在中学可能不太熟悉（中学更熟悉的大概是“外角等于两不相邻内角之和”，“平行线同位角相等”，很少考虑直线和三角形两边相交又不经过顶点的问题）。在中学里面我们从未用一条公理的视角去看待平面顺序公理，这里我们需要加深一下印象。

直线顺序公理的第3条如果还能证明是“唯一”（恰有一点在另两点之间）的话，那么粗略的“之间”的关系就足以推出直线上的点可以规定全序关系（中学所说的数轴）。下面我们根据第4条平面顺序公理证明第3条的唯一性。

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顺序公理没有图不太好理解，直接贴一张图吧

希尔伯特《几何基础》第二组公理——顺序公理.jpg

附注：这图在桌面端看上去超级大，改成链接了

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直线同侧、异侧的概念

从第二组公理开始，可以定义只依赖前两组公理的同侧或异侧的概念：

给定平面 \alpha 上的直线 a，对于平面 \alpha 内不在直线 a 上的点 A，A’：
- 如果线段 AA' 和直线 a 没有交点，则称 A、A' 在直线 a 的同侧。
- 如果线段 AA' 和直线 a 有交点，则称 A、A' 在直线 a 的异侧。
直线 a 上给定一点 O。对于 O 以外的两点 A、B：
- 如果 O 不在 A、B 之间，则称 A、B 在直线 O 的同侧。
- 如果 O 在 A、B 之间，则称 A、B 在直线 O 的异侧。

可以证明，以上直线a对平面 \alpha 切割 [1] 而成的“同侧”，和点 O 对直线 a 切割而成的“同侧”关系都是等价关系（如果规定两个重合的点是同侧的话）。

直线对平面的切割，和点对直线的切割，划分的“侧”显然有两个。我们通常用选择一个参照点的方式来规定其中的一侧，比如说对于直线上两点A、B，对A来说，划分的参照点是B：和B同侧，以及和B异侧。

[1] “切割”是一种形象的说法，更严格的说是平面 \alpha 除去直线 a 以后的集合被划分称两个不交集合的并集。（这个不是单纯的划分，首先要去掉直线 a 本身）

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线段、角度的概念

在讲述第三组公理之前，我们首先要定义线段和角度的概念（三角形就是不在同一直线上的三点，这个是平凡的），然后再叙述合同公理。概念的定义本身只依赖前两组公理。

[定义] 我们考虑一直线 a 上的两点 A 和 B；我们把这一对点 A 和 B 所成的点组[1]叫做一条线段，用 AB 或 BA 表示。在 A 和 B 之间的点叫做线段 AB 的点，或线段 AB 内部的点；A 和 B 叫做线段 AB 的端点，直线 a 上的其他的点叫做线段 AB 外部的点。
[定义] 考虑一直线 a 上的点 O，直线 a 上点 O 的同侧[2]的点的全体，叫做从点 O 起始的这一侧的射线；因此一直线的每一点把这直线分成两条射线。

[1] 这里的叙述似乎是讲A、B两点本身组成的集合。按照中学通常的说法，线段AB是说A、B以及它们之间的点组成的集合。不过这只是叙述上的差异，不影响线段概念的定义，毕竟《几何基础》上也讲到“线段内部的点”就是A、B“之间”的点组成的集合。“之间”的概念由第二组公理的直线顺序公理的三条所严格规定。
[2] “同侧”的概念在上一楼里面有讲到。

[定义] 设 \alpha 是任一平面，而且 h 和 k 是 \alpha 上的，从一点 O 起始的，不属于同一直线的两条射线，我们把这一对射线组成的线组叫做一个角[3]，用 $∠(h,k)\angle(h, k)$ 或 $∠(k,h)\angle(k, h)$ 表示。射线 h 和 k 叫做这个角的边；点 O 叫做这个角的顶点。
[3] 上述定义和中学学的有一些差异，不考虑平角和凸角（大于平角的角）。“线组”是无序集合。

一个角也可以类似一条直线一样，把平面划分成两个部分。和直线不同的是，角度划分的两个部分不是平等的，可以定义出角度的内部和外部。

[定义] 设射线 $h$ 属于直线 $hˉ\bar{h}$ ，射线 $k$ 属于直线 $kˉ\bar{k}$ 。这两条射线 $h$ 和 $k$ ，和它们的端点 O 这个点一起，把 $α\alpha$ 上其余的点分成两个区域：所有的点，在 $kˉ\bar{k}$ 的 $h$ 侧（即 $h$ 的点所在的那一侧）的，又在在 $hˉ\bar{h}$ 的 $k$ 侧的，叫做角 $∠(h,k)\angle(h, k)$ 的内部，或者说是在角内；其余的点叫做外部，或者说在角外。

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第三组公理：合同公理

第三组公理讲述线段、角度和三角形的合同关系。这里“合同”就是相等的意思，只不过因为我们还没有讲述实数和欧式几何的关系，所以这里“相等”只能当作一个抽象的概念，好比AB等于AB，3等于3，但是AB是否“长度”是3在目前是没有意义的。

线段的合同公理

线段间有一定的相互关系，我们用”合同“或”相等“这个词来描述。

设 A 和 B 是一直线 a 上的两点，A' 是这直线或另一直线 a' 上的一点，而且给定了直线 a' 上 A' 的一侧[1]，则在直线 a' 上 A' 的这一侧，恒有一点 B'，使得线段 AB 和线段 A'B' 合同或全等；用记号表示，即

$\equiv A'B'$
若线段 A'B' 和 A''B'' 都和另一线段 AB 合同，则这两线段 A'B' 和 A''B'' 也合同；简言之；若两线段都和第三线段合同，则它们彼此也将合同。
设两线段 AB 和 BC 在同一直线 a 上，无公共点，而且两线段 A‘B’ 和 B‘C’ 在这直线或另一直线 a‘ 上亦无公共点。若

$\equiv A'B' , BC \equiv B'C'$

则

$\equiv A'C'$

角的合同公理

角与角间有一定的相互关系，我们用”合同“或”相等“这个词来描述。

设给定了一平面 $α\alpha$ 上的一个角 $∠(h,k)\angle(h, k)$ ，一平面 $α′\alpha'$ 上的一直线 $a^{'}$ ，和平面 $α′\alpha'$ 上直线 $a^{'}$ 的一侧。设 $h^{'}$ 是平面 $a^{'}$ 上的，从一点 $O^{'}$ 起始的一条射线，则平面 $α′\alpha'$ 上恰有一条射线 $k^{'}$ [2]，使 $∠(h,k)\angle(h, k)$ 合同或相等，而且使 $∠(h′,k′)\angle(h', k')$ 的内部在 $a^{'}$ 这给定了的一侧；用记号表示[3]，即

$∠(h,k)≡∠(h′,k′)\angle(h, k) \equiv \angle(h', k')$

每一个角和它自己合同，即

$\angle(h, k) \equiv \angle(h, k)$

我们也简单的说：每一个角都能用唯一确定的方式迁移到一个给定的平面上，使它沿着一条给定了的射线，并且在这射线的给定了的一侧。

设 B 是 $∠(h,k)\angle(h, k)$ 的顶点。A 和 C 分别是边 $h$ 和 $k$ 的一点。这个角也用 $∠ABC\angle ABC$ 或 $∠B\angle B$ 表示，角有时也用小写希腊字母表示。

三角形的合同公理
5. 若两个三角形[4] $A BC$ 和 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 有下列合同式

\equiv A'B', AC \equiv A'C', \angle BAC \equiv \angle B'A'C'

则也恒有合同式

\angle ABC \equiv \angle A'B'C'

这几条合同公理都是为第5条服务的，按照中学的说法，第5条相当于就是全等三角形SAS（边角边）判定方法。

第1条公理规定了边迁移的存在性（注意公理本身没有讲唯一性），第3条公理是为边的“相加”服务。我们在不建立实数体系的情况下，不同直线上线段的加减是没有意义的，但是不妨碍我们规定同一直线上面的加减。（有了加法自然可以规定减法；即使不规定减法也可以用加法的形式写出来）。

第4条公理讲了角度迁移的唯一性。第4条公理同时还照顾到了不同平面上角度的迁移也具有唯一性。当然，对于平面几何来说，同一平面上的迁移更是唯一的。注意唯一性本身需要规定平面上直线的某一侧，才具有唯一性，不然迁移会有两种对称的结果。

第5条公理讲了相当于是全等三角形SAS的判定方法。根据第5条公理并结合第4条公理的唯一性，我们可以推出第1条公理中，线段的迁移，在给定直线上某一点的一侧的情况下，也是唯一的。第5条公理里面没有讲到第三对边也相等，但是我们可以证明这一点。两条推论的叙述和证明列举如下。

[推论] 第1条公理中，满足条件的 B' 是唯一的。
证明：反证法，假设把线段 AB 迁移到从 A' 起始的射线上，能得到不同的两点 B‘ 和 B''，使得 A'B' 和 A'B'' 都和 AB 相等，那么根据第三组公理的第2条（传递性），A'B' 和 A'B''相等。在直线 A'B' 外任取一点 C'（根据第一组公理的第3条，可以推出平面上任一直线外都至少有一点），我们有以下相等的式子：

\equiv A'B'', A'C' \equiv A'C', \angle B'A'C' \equiv B''A'C'

根据第三组公理的第5条，得到

\angle A'C'B' \equiv \angle A'C'B''

但是 B' 和 B'' 在直线 A'C' 的同一侧（线段 B'B'' 和直线 A'C' 没有交点），和第三组公理的第4条要求的唯一性矛盾。

[推论] 对于满足第5条公理的三角形 $A BC$ 和 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，必有 $\equiv B'C'$ 。
证明：反证法，假设 $BC$ 和 $B^{'} C^{'}$ 不相等。根据第三组公理的第1条，对于射线 $C^{'} B^{'}$ （从B'出发指向C'的射线，下同；注意射线 $C^{'} B^{'}$ 包含线段 $C^{'} B^{'}$ 和它的延长线上的点），存在它上面的点 $B^{''}$ ，使得 $\equiv C'B''$ 。 $B^{''}$ 一定不同于 $B^{'}$ ，因为线段 $CB$ 和 $C^{'} B^{'}$ 不相等，却和线段 $C^{'} B^{''}$ 相等。

根据第5条公理，我们已有 $∠ACB≡∠A′C′B′\angle ACB \equiv \angle A'C'B'$ 。而 $B^{''}$ 在射线 $C^{'} B^{'}$ 上，所以 $∠A′C′B′≡∠A′C′B′′\angle A'C'B' \equiv \angle A'C'B''$ ，从而 $∠ACB≡∠A′C′B′′\angle ACB \equiv \angle A'C'B''$ 。
因为

\equiv A'C', BC \equiv B''C', \angle A'C'B' \equiv \angle A'C'B''

从而对三角形

A CB

和

A C^{'} B^{''}

用第5条公理，我们有

\angle ACB \equiv \angle A'C'B''

但是我们已经有

∠ACB≡∠A′C′B′\angle ACB \equiv \angle A'C'B'

，而且

B^{'}

、

B^{''}

在直线

A^{'} C^{'}

的同侧（都是射线

C^{'} B^{'}

上的点），和第4条公理要求的唯一性矛盾。

注释：
[1] “一侧”的取法不难规定，比如参照我们在第二组公理的注解里面所说的，先取一个参照点，然后选择所有和这个参照点同侧的点作为平面的一侧。
[2] 这里用了角度的符号，所以暗含 $k^{'}$ 必须从 $O^{'}$ 起始。
[3] 注意记号本身不标注 $a^{'}$ 的一侧；只是说，给定了 $a^{'}$ 的一侧，射线 $k^{'}$ 是唯一的。
[4] 此处及以后总假设三角形的三个顶点不在一条直线上。
[5] 三角形本身只是三个点组成的一个集合，本身是没有顺序的。不过，全等三角形的记号 $\cong A'B'C'$ 书写必须按照对应点的顺序书写（这个和中学的讲法是一致的）。以上的全等三角形能够得出：

\equiv A'B'. AC \equiv A'C', BC \equiv B'C', \angle ABC \equiv A'B'C', \angle BAC \equiv B'A'C', \angle ACB \equiv A'B'C'

注意这里A、B、C三点不在一条直线上，A'、B'、C'亦是如此，但是这6个点之间可以有重复的点。

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对集合论中相同元素替换记号的说明（换元法）

我们在第三组公理的第5条的推论中，利用到了“全等三角形”中某些点能够重合，甚至整个角度和一条边都重合的情况。大家在中学的时候就应该已经熟悉此类技巧（有时被称为“同一法”，即如果有两个不同的点B'、B’'都符合条件就会推出矛盾，从而只能有一个点B'符合条件；如果在叙述里面允许点重合的话，也可记作 B' = B''）。

我们对重合的点（线段、直线、射线、角、平面）做一点说明：集合论中是允许相同的元素做记号的更换的，也允许不同的命题重复使用一样的记号，或者说，更换记号之前的命题能够推出更换记号之后的命题。比如说，第5条公理可以推出如下的命题：

若两个三角形 $XZ Y$ 和 $X^{'} Z^{'} Y^{'}$ 有下列合同式子

\equiv X'Z', XY \equiv X'Y', \angle ZXY \equiv Z'X'Y'

则也恒有合同式

\angle XZY \equiv \angle X'Z'Y'

如果你观察一下记号的对应关系，你会发现，只要把公理里面的 A、B、C、A‘、B'、C’ 分别换成 X、Z、Y、X'、Z’、Y‘，那么命题就成立了。如果我们再把 X、Z、Y、X'、Z’、Y‘ 换成 A、C、B、A'、C‘、B'，然后再变换一下线段、角度的书写顺序，我们就可以得到如下的命题：
若两个三角形[5]

A BC

和

A^{'} B^{'} C^{''}

有下列合同式子

\equiv A'C', AB \equiv A'B', \angle BAC \equiv B'A'C'

则也恒有合同式

\angle ACB \equiv \angle A'C'B'

我们可以看到条件和公理里面的条件完全一致，但是多出了一条新的结论。这只是集合论叙述里面替换符号（换元法）的简洁性得出的，可以看作是同一条公理。

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欧几里得第三、第四条公设叙述的修正

欧几里得不正确地列出了第三、第四条公设。第三条公设本身是一个概念性的定义（圆），应该修改为其他公理的定义。而第四条公设本身是不够用的（虽然欧几里得可能不那么觉得），需要扩充为一组对任何线段、角度、三角形都适用的第三组公理（合同公理）。

现在我们将重新叙述的定义和定理叙述如下。

[定义] 设 $M$ 是一平面 $α\alpha$ 上的任一点。考虑 $α\alpha$ 上的所有的那些点 $A$ ，它们使线段 $M A$ 都互相合同的。这种点 $A$ 的全体叫做一个圆， $M$ 叫做这个圆的中心。

[定义] 两个角 $∠(h,k)\angle (h, k)$ ， $∠(h′,k′)\angle (h', k')$ 共顶点，共用其中的一条边 $k = k^{'}$ ，不共用的边 $h, h^{'}$ 不重合但共一条直线，则称这两个角是邻补角。两个角 $∠(h,k)\angle (h, k)$ ， $∠(h′,k′)\angle (h', k')$ 共顶点， $h, h^{'}$ 不重合但共一条直线， $k, k^{'}$ 不重合但共一条直线，则称这两个角是对顶角。

从定义可以看出，一个角恰有两个邻补角，这两个邻补角是对顶角。一个角恰有一个对顶角。

[定义] 和它的（任何一个）领补角相等的角叫做直角。
[定理] 所有的直角都互相合同。

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第四组公理：平行公理

在非欧几何中，数学家们对“平行线”并不太感兴趣；数学系更感兴趣“测地线”、“渐近线”之类的概念。不过这些问题就超过《几何基础》的范围了。现在我们建立相当于欧几里得第五公设的平行公理。

《几何基础》中的前三组公理已经决定了，平面上过直线外任意一点都可以作出和该直线不相交的另一条直线。用中学的语言来叙述的话，就是“同位角相等的直线是平行线”，这是利用中学里面“三角形的外角大于不相邻的内角”这一结论的直接推论；这些都是可以用前三组公理来证明的。

下面的平行公理保证了平行线的唯一性，叙述如下：

1.（欧几里得公理）设 a 是任一直线，A 是 a 外的任一点，在 a 和 A 所决定的平面上，至多有一条直线通过 A，而且不和 a 相交。

[定义] 根据上文和平行公理，我们知道：在 a 和 A 所决定的平面 $α\alpha$ 上，恰有一直线，通过 A 而且不和 a 相交。我们把这条直线叫做（平面 $α\alpha$ 上）（直线 a 的）通过 A 的平行直线。

平行公理和下述的要求等价（即要求平行线具有传递性，“平行于第三条直线的两直线平行”）：
如果一平面上的 a 和 b 两直线都不和这平面的第三条直线 c 相交，那么 a 和 b 也不相交。

平行公理是一条平面公理，没有像前面三组公理一样有对应于空间的叙述。我们现在定义平行线的概念如下：

[定义] 我们称两条直线 h 和 k （互相）平行（或者说，直线 h 和 k 是平行线），如果直线 h 和 k 在同一平面上，且直线 h 和 k 没有交点。

在立体几何中，直线不相交只是说明它们不在同一平面上（相交的则根据第一组公理，必然在同一平面上），而这是稀疏平常的。（如果你对中学立体几何还有印象的话，你应该知道空间上两不同直线的关系有三种：相交、平行、异面）。不过我们可以根据平行公理来建立中学熟悉的平面与直线、平面与平面的平行关系，这里暂且不表。

lebegue

第五组公理：连续公理

实数理论在早期一直处于极其混乱的状态，很多性质被当成是理所应当的，而没有进行严格的形式推理的叙述，更没有公理体系的支持。对于欧式几何来说也是如此。我们的前四组公理已经建立了相当于欧几里得五条公设的内容，但是我们熟悉的欧式几何并不能仅靠前四组公理建立。第五组公理弥补了公理体系中缺失的环节，使得我们的公理体系符合我们常熟悉的欧式几何。

基于近代集合论的发展，数学家们发现，对于连续性的讨论也是非常重要的集合性质。下面的阿基米德公理原本是阿基米德对于实数性质的讨论，但是对于欧式几何来说，同样应当加入公理体系的最后一组公理。

（度量公理或阿基米德公理）若 $A B$ 和 $C D$ 是任意两线段，则必存在一个数[1] $n$ 使得沿 $A$ 到 $B$ 的射线上，自 $A$ 作首尾相连的 $n$ 个线段 $C D$ ，必将越过 $B$ 点。

我们在前面所有的公理中，一直没有提到和实数相关的任何概念。但是只有阿基米德公理，连同第一组到第四组公理，并不足以证明我们的几何和通常的笛卡尔解析几何[3]完全相同。
下面的完备公理不是阿基米德公理的一个推论。虽然完备公理的自然语言的叙述没有直接提到“收敛”或者类似的词，但是加上它以后，就能证明（相当于戴德金的分割的）确界的存在，和关于凝聚点存在的波尔查诺（Bolzano）定理，从而才证明了我们的几何和笛卡尔几何相同。

（直线完备公理）一直线上的点集不可能再这样的扩充，使得这直线上原来元素之间所具有的关系[1]，从关联公理、顺序公理、合同公理和阿基米德公理都仍旧保持。

这两条连续公理都是直线公理。下面的完备定理是直线完备公理的推论。

[定理]（完备定理）几何元素（点、直线和平面）形成一个集合，它保持关联公理、顺序公理、合同公理和阿基米德公理，但不能在保持全体公理的条件之下，经由点、直线和平面再进行扩充。

完备定理还可以表述成更强的性质，也就是说，在完备定理内所要求保持的诸公理中，有些不是绝对需要的。为了定理能够成立，重要的倒是在所要求保持的诸公理中包含有：

第一组公理的第7条（有公共点的两平面至少有两个不同的公共点）；
阿基米德公理。
一条完备公理若不包含上第一组公理第7条和第阿基米德公理，就将引出矛盾。

在后面的研究当中，除了应用到实数理论和解析几何的地方，我们主要只用第五组公理中的阿基米德公理作根据，而普遍地不假设完备公理。

注释：
[1] 这里的数是指正整数。有关正整数的公理，比如皮亚诺公理如何建立，不是《几何基础》所要讨论的内容。（但读者应当知道的是，皮亚诺公理里面最重要的是归纳公理，从它可以推出我们通常知道的数学归纳法。）
[2] 是指扩充之前，根据关联公理、顺序公理、合同公理和阿基米德公理，在原来的直线上已经具备的关系。
[3] 笛卡尔首先建立了代数和几何的关系，他首先建立了我们熟知的平面直角坐标系和空间直角坐标系。笛卡尔是解析几何的创始人。

lebegue

《几何基础》的第一章就更完啦！希尔伯特对欧氏几何修正的五组公理体系都全部叙述完了。

后面其实有意思的东西还有不少。我们调过了书中大部分的概念定义，中学里面常见的说法也没有给出定义。重建中学里面欧式几何的体系肯定是要完成的，不过我会尽量让叙述显得不太啰嗦，突出主干，然后杂碎的包括中考高考里面的概念题就不多讲了（虽然《几何基础》读下来概念的严谨程度肯定是远远大于中学的，毕竟我们有完整的形式逻辑体系，而中学的数学，不客气的说，只是一些约定俗成说法和做法的合集）

《几何基础》后面几章和附录里面，比较有意思的（也是中学里面大家喜闻乐见的）是面积理论和相似三角形。笛沙格定理之类的就要晦涩一些，对这些平面几何的经典定理感兴趣可以看《近代欧式几何学》，我就不多说了。解析几何当然也是大家喜闻乐见的，这肯定也会讲。附录4里面群论和极限点的东西有些像微分几何了，这就不太敢多说了，估计就不讲了？

希尔伯特《几何基础》就先暂时告一段落啦！后面有想讲的还会开新帖继续更新。