希尔伯特《几何公理》（补充欧几里得五条公理的缺漏）

lebegue

有些公理体系里面的基本假设叙述的时候是有缺漏的，大家通常宣传的那些只是最方便叙述的几条，而不代表仅仅凭这几条就可以形成完整的公理体系。

比如未名树洞#103238（#127里面有未名树洞#103238和下面引用的两个洞的转载）里面讲到的牛顿定律也是如此，不过牛顿自有一套他的时空观念（牛顿绝对时空观）来说明各类问题。（但是牛顿没有场的观念，比如牛顿万有引力定律里面认为万有引力是超距作用，这也和他的时空观相一致）。

再比如欧几里得的五条公设其实本身留下了大量的疑点，什么是点？什么是直线？什么是交点？什么是线段？这些问题欧几里得都没有给出规定。

这里讲讲希尔伯特的《几何基础》。希尔伯特把欧几里得的五条公设补充为五组20条公理（具体多少条不重要，只要知道原来的五条是不完整的），后人也称之为希尔伯特公理系统，希尔伯特的叙述使得欧式平面几何的叙述真正意义上成为一套完备的公理体系。（希尔伯特还研究了一般意义上的形式逻辑系统，但这里暂且不表）

目录（L是说楼数，右下角可以看到当前楼数/总楼数，点击右下角楼数的数字可以直接进行跳转）

第一组公理：4L
第二组公理：8L-9L
直线同侧和异侧的概念：10L
线段、角度的概念：12L
第三组公理：13L
对集合论中相同元素替换记号的说明（换元法）：14L
欧几里得第三、第四条公设叙述的修正：16L
第四组公理：平行公理：17L
第五组公理：连续公理：18L

附图：9L
吐槽：其实图不大，不知道为什么看上去超大。电脑上面除非把浏览器窗口拖拽下来缩小一半只放在屏幕左边，不然9L图看上去会超级大；移动端似乎无此问题，希望管理员能设法改进一下CSS吧，虽然我也不知道怎么改进

lebegue

《几何基础》有一本中文版：几何基础（第二版）（d.希尔伯特）.pdf

lebegue

@admin pkuanvil虽然版面比较清楚，但是相比未名树洞不好的一点（除了人太少以外）没有正文摘要，只有一个标题，如果能有类似jekyll里面显示markdown第一段的摘要的功能就好了

lebegue

前言

设想有三组不同[1]的对象：点、直线和平面。设想点、直线和平面有一定的相互关系，分别用“关联”（“在……之上”、“属于”）、“介于”（“在……之间”）、“合同于”（“全等于”、“相等于”）来表示。

第一组公理：关联公理

第一组公理的平面公理：

对于两点[2] A 和 B, 恒有一直线 a，它同 A 和 B 这两点的每一点相关联。
对于两点 A 和 B，至多有一直线，它同 A 和 B 这两点的每一点相关联。
一直线上恒至少有两点，至少有三点不在同一直线上。

第一组公理中的空间公理：

对于不在同一直线上的任意三点 A, B 和 C，恒有一平面 \alpha，它同 A, B 和 C 这三点的每一点相关联。对于任一平面，恒有一点同这平面相关联。
对于不在同一直线上的任意三点 A, B 和 C，至多一平面 \alpha，它同 A, B 和 C 这三点的每一点相关联。
若一直线 a 的两点 A 和 B 在一平面 \alpha 上，则 a 的每一点都在平面 \alpha 上。
若两平面 \alpha 和 \beta 有一公共点 A，则它们至少还有一公共点 B。
至少有四点不在同一平面上。

第一组公理，简单来说就是：“两点确定一条直线”，“三点确定一个平面”。但是为了公理体系的完整性，有些话是必须要说的，比如第3条里面保证了不会有没有点或者只有一个点的奇怪直线，也不会整个平面的点都在同一条“直线”上。第7条和第8条，粗略来说就是说空间的维数不小于3和不大于3。

第一组公理没有回答两条直线的交点问题，这个要到最有意思的欧几里得第五公设（在《几何基础》里面叙述为第四组公理）来讨论。但是根据第一组公理的第2条，两条不同[3]的直线最多有一个交点。

注释：
[1] 这里希尔伯特不把直线和平面看成点的集合，而是看成某种独立的基本对象，恰好具有“关联”点的性质。当然这只是集合论叙述的差异，事实上读者可以按照中学的说法，认为直线和平面就是点的集合。以后对“线段”等等的叙述也同理。但是我们仍然认为三角形就是说三个点的无序集合，而不包括它的边、内部等等。
[2] 集合论里面并没有明确定义什么是“不同”，但是规定了相同的元素可以在命题里替换而不改变命题的真伪（集合论承认排中律，两个元素要么相同要么不同）。在希尔伯特的《几何基础》（可能也包括读者看到的其他文献）里面，凡是说“两个点 A，B”，“三个点A，B，C”，“两条直线 h，k”，“两个平面 \alpha，\alpha' ”等等的叙述，除非特别说明都指不同的元素。五组公理里面所说的，都是不相同的元素。（当然有些公理对有相同元素的情形也是真命题，然而大部分不是，这些可以根据原始的不相同的公理进行推理）
[3] 同上一条注释，“不同”本身没有明确意义，但相同是有意义的。因为集合论里面允许相同元素直接替换命题的叙述而不改变命题的真伪，如果两条直线相同而一个点和其中一条直线相关联，那么该点必和另一条直线关联。据此我们可以推出，两直线关联的点的集合必然相同。我们在后面“对集合论中相同元素替换记号的说明”里面会再次说明。

admin

@lebegue 设置2M是因为怕上传挤爆服务器可怜的硬盘空间……先改成100M吧，希望大家用的时候稍微悠着点，后续如果有扩容了会有公告

lebegue

@admin ok，感谢管理员

admin

摘要感觉比较麻烦（其实summary这个特性创站的时候就考虑过），但是现在看来实现似乎不太简单，可能要看看markdown语法分析器或者html输出的角度入手，还得修改前端的输出……这个得等站长研究一下了

lebegue

第二组公理：顺序公理

直线顺序公理：

若一点 B 在一点 A 和一点 C 之间，则 A， B 和 C 是一直线上的不同的三点，这时，B 也在 C 和 A 之间。
对于两点 A 和 C，直线 AC 上恒有至少有一点 B，使得 C 在 A 和 B 之间。
一直线的任意三点中，至多有一点在其他两点之间。

平面顺序公理：

设 A， B 和 C 是不在同一直线上的三点：设 a 是平面 ABC 的一直线，但不通过 A，B， C 这三点中的任一点，若直线 a 通过线段 AB 的一点，则它必定也通过线段 AC 的一点，或线段 BC 的一点。

这里要特别注意第二组公理第2条的叙述，事实上是说“AC延长线上必存在一点B”，而不是说“线段AB上必存在一点C”。
第4条平面顺序公理，用楼主的话来说就是“和三角形一边相交但不过三角形顶点的直线必和另一边相交”。这条公理在几何上是直观的，不过读者在中学可能不太熟悉（中学更熟悉的大概是“外角等于两不相邻内角之和”，“平行线同位角相等”，很少考虑直线和三角形两边相交又不经过顶点的问题）。在中学里面我们从未用一条公理的视角去看待平面顺序公理，这里我们需要加深一下印象。

直线顺序公理的第3条如果还能证明是“唯一”（恰有一点在另两点之间）的话，那么粗略的“之间”的关系就足以推出直线上的点可以规定全序关系（中学所说的数轴）。下面我们根据第4条平面顺序公理证明第3条的唯一性。

lebegue

顺序公理没有图不太好理解，直接贴一张图吧

希尔伯特《几何基础》第二组公理——顺序公理.jpg

附注：这图在桌面端看上去超级大，改成链接了

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直线同侧、异侧的概念

从第二组公理开始，可以定义只依赖前两组公理的同侧或异侧的概念：

给定平面 \alpha 上的直线 a，对于平面 \alpha 内不在直线 a 上的点 A，A’：
- 如果线段 AA' 和直线 a 没有交点，则称 A、A' 在直线 a 的同侧。
- 如果线段 AA' 和直线 a 有交点，则称 A、A' 在直线 a 的异侧。
直线 a 上给定一点 O。对于 O 以外的两点 A、B：
- 如果 O 不在 A、B 之间，则称 A、B 在直线 O 的同侧。
- 如果 O 在 A、B 之间，则称 A、B 在直线 O 的异侧。

可以证明，以上直线a对平面 \alpha 切割 [1] 而成的“同侧”，和点 O 对直线 a 切割而成的“同侧”关系都是等价关系（如果规定两个重合的点是同侧的话）。

直线对平面的切割，和点对直线的切割，划分的“侧”显然有两个。我们通常用选择一个参照点的方式来规定其中的一侧，比如说对于直线上两点A、B，对A来说，划分的参照点是B：和B同侧，以及和B异侧。

[1] “切割”是一种形象的说法，更严格的说是平面 \alpha 除去直线 a 以后的集合被划分称两个不交集合的并集。（这个不是单纯的划分，首先要去掉直线 a 本身）

lebegue

线段、角度的概念

在讲述第三组公理之前，我们首先要定义线段和角度的概念（三角形就是不在同一直线上的三点，这个是平凡的），然后再叙述合同公理。概念的定义本身只依赖前两组公理。

[定义] 我们考虑一直线 a 上的两点 A 和 B；我们把这一对点 A 和 B 所成的点组[1]叫做一条线段，用 AB 或 BA 表示。在 A 和 B 之间的点叫做线段 AB 的点，或线段 AB 内部的点；A 和 B 叫做线段 AB 的端点，直线 a 上的其他的点叫做线段 AB 外部的点。
[定义] 考虑一直线 a 上的点 O，直线 a 上点 O 的同侧[2]的点的全体，叫做从点 O 起始的这一侧的射线；因此一直线的每一点把这直线分成两条射线。

[1] 这里的叙述似乎是讲A、B两点本身组成的集合。按照中学通常的说法，线段AB是说A、B以及它们之间的点组成的集合。不过这只是叙述上的差异，不影响线段概念的定义，毕竟《几何基础》上也讲到“线段内部的点”就是A、B“之间”的点组成的集合。“之间”的概念由第二组公理的直线顺序公理的三条所严格规定。
[2] “同侧”的概念在上一楼里面有讲到。

[定义] 设 \alpha 是任一平面，而且 h 和 k 是 \alpha 上的，从一点 O 起始的，不属于同一直线的两条射线，我们把这一对射线组成的线组叫做一个角[3]，用 $∠(h,k)\angle(h, k)$ 或 $∠(k,h)\angle(k, h)$ 表示。射线 h 和 k 叫做这个角的边；点 O 叫做这个角的顶点。
[3] 上述定义和中学学的有一些差异，不考虑平角和凸角（大于平角的角）。“线组”是无序集合。

一个角也可以类似一条直线一样，把平面划分成两个部分。和直线不同的是，角度划分的两个部分不是平等的，可以定义出角度的内部和外部。

[定义] 设射线 $h$ 属于直线 $hˉ\bar{h}$ ，射线 $k$ 属于直线 $kˉ\bar{k}$ 。这两条射线 $h$ 和 $k$ ，和它们的端点 O 这个点一起，把 $α\alpha$ 上其余的点分成两个区域：所有的点，在 $kˉ\bar{k}$ 的 $h$ 侧（即 $h$ 的点所在的那一侧）的，又在在 $hˉ\bar{h}$ 的 $k$ 侧的，叫做角 $∠(h,k)\angle(h, k)$ 的内部，或者说是在角内；其余的点叫做外部，或者说在角外。

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第三组公理：合同公理

第三组公理讲述线段、角度和三角形的合同关系。这里“合同”就是相等的意思，只不过因为我们还没有讲述实数和欧式几何的关系，所以这里“相等”只能当作一个抽象的概念，好比AB等于AB，3等于3，但是AB是否“长度”是3在目前是没有意义的。

线段的合同公理

线段间有一定的相互关系，我们用”合同“或”相等“这个词来描述。

设 A 和 B 是一直线 a 上的两点，A' 是这直线或另一直线 a' 上的一点，而且给定了直线 a' 上 A' 的一侧[1]，则在直线 a' 上 A' 的这一侧，恒有一点 B'，使得线段 AB 和线段 A'B' 合同或全等；用记号表示，即

$\equiv A'B'$
若线段 A'B' 和 A''B'' 都和另一线段 AB 合同，则这两线段 A'B' 和 A''B'' 也合同；简言之；若两线段都和第三线段合同，则它们彼此也将合同。
设两线段 AB 和 BC 在同一直线 a 上，无公共点，而且两线段 A‘B’ 和 B‘C’ 在这直线或另一直线 a‘ 上亦无公共点。若

$\equiv A'B' , BC \equiv B'C'$

则

$\equiv A'C'$

角的合同公理

角与角间有一定的相互关系，我们用”合同“或”相等“这个词来描述。

设给定了一平面 $α\alpha$ 上的一个角 $∠(h,k)\angle(h, k)$ ，一平面 $α′\alpha'$ 上的一直线 $a^{'}$ ，和平面 $α′\alpha'$ 上直线 $a^{'}$ 的一侧。设 $h^{'}$ 是平面 $a^{'}$ 上的，从一点 $O^{'}$ 起始的一条射线，则平面 $α′\alpha'$ 上恰有一条射线 $k^{'}$ [2]，使 $∠(h,k)\angle(h, k)$ 合同或相等，而且使 $∠(h′,k′)\angle(h', k')$ 的内部在 $a^{'}$ 这给定了的一侧；用记号表示[3]，即

$∠(h,k)≡∠(h′,k′)\angle(h, k) \equiv \angle(h', k')$

每一个角和它自己合同，即

$\angle(h, k) \equiv \angle(h, k)$

我们也简单的说：每一个角都能用唯一确定的方式迁移到一个给定的平面上，使它沿着一条给定了的射线，并且在这射线的给定了的一侧。

设 B 是 $∠(h,k)\angle(h, k)$ 的顶点。A 和 C 分别是边 $h$ 和 $k$ 的一点。这个角也用 $∠ABC\angle ABC$ 或 $∠B\angle B$ 表示，角有时也用小写希腊字母表示。

三角形的合同公理
5. 若两个三角形[4] $A BC$ 和 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 有下列合同式

\equiv A'B', AC \equiv A'C', \angle BAC \equiv \angle B'A'C'

则也恒有合同式

\angle ABC \equiv \angle A'B'C'

这几条合同公理都是为第5条服务的，按照中学的说法，第5条相当于就是全等三角形SAS（边角边）判定方法。

第1条公理规定了边迁移的存在性（注意公理本身没有讲唯一性），第3条公理是为边的“相加”服务。我们在不建立实数体系的情况下，不同直线上线段的加减是没有意义的，但是不妨碍我们规定同一直线上面的加减。（有了加法自然可以规定减法；即使不规定减法也可以用加法的形式写出来）。

第4条公理讲了角度迁移的唯一性。第4条公理同时还照顾到了不同平面上角度的迁移也具有唯一性。当然，对于平面几何来说，同一平面上的迁移更是唯一的。注意唯一性本身需要规定平面上直线的某一侧，才具有唯一性，不然迁移会有两种对称的结果。

第5条公理讲了相当于是全等三角形SAS的判定方法。根据第5条公理并结合第4条公理的唯一性，我们可以推出第1条公理中，线段的迁移，在给定直线上某一点的一侧的情况下，也是唯一的。第5条公理里面没有讲到第三对边也相等，但是我们可以证明这一点。两条推论的叙述和证明列举如下。

[推论] 第1条公理中，满足条件的 B' 是唯一的。
证明：反证法，假设把线段 AB 迁移到从 A' 起始的射线上，能得到不同的两点 B‘ 和 B''，使得 A'B' 和 A'B'' 都和 AB 相等，那么根据第三组公理的第2条（传递性），A'B' 和 A'B''相等。在直线 A'B' 外任取一点 C'（根据第一组公理的第3条，可以推出平面上任一直线外都至少有一点），我们有以下相等的式子：

\equiv A'B'', A'C' \equiv A'C', \angle B'A'C' \equiv B''A'C'

根据第三组公理的第5条，得到

\angle A'C'B' \equiv \angle A'C'B''

但是 B' 和 B'' 在直线 A'C' 的同一侧（线段 B'B'' 和直线 A'C' 没有交点），和第三组公理的第4条要求的唯一性矛盾。

[推论] 对于满足第5条公理的三角形 $A BC$ 和 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，必有 $\equiv B'C'$ 。
证明：反证法，假设 $BC$ 和 $B^{'} C^{'}$ 不相等。根据第三组公理的第1条，对于射线 $C^{'} B^{'}$ （从B'出发指向C'的射线，下同；注意射线 $C^{'} B^{'}$ 包含线段 $C^{'} B^{'}$ 和它的延长线上的点），存在它上面的点 $B^{''}$ ，使得 $\equiv C'B''$ 。 $B^{''}$ 一定不同于 $B^{'}$ ，因为线段 $CB$ 和 $C^{'} B^{'}$ 不相等，却和线段 $C^{'} B^{''}$ 相等。

根据第5条公理，我们已有 $∠ACB≡∠A′C′B′\angle ACB \equiv \angle A'C'B'$ 。而 $B^{''}$ 在射线 $C^{'} B^{'}$ 上，所以 $∠A′C′B′≡∠A′C′B′′\angle A'C'B' \equiv \angle A'C'B''$ ，从而 $∠ACB≡∠A′C′B′′\angle ACB \equiv \angle A'C'B''$ 。
因为

\equiv A'C', BC \equiv B''C', \angle A'C'B' \equiv \angle A'C'B''

从而对三角形

A CB

和

A C^{'} B^{''}

用第5条公理，我们有

\angle ACB \equiv \angle A'C'B''

但是我们已经有

∠ACB≡∠A′C′B′\angle ACB \equiv \angle A'C'B'

，而且

B^{'}

、

B^{''}

在直线

A^{'} C^{'}

的同侧（都是射线

C^{'} B^{'}

上的点），和第4条公理要求的唯一性矛盾。

注释：
[1] “一侧”的取法不难规定，比如参照我们在第二组公理的注解里面所说的，先取一个参照点，然后选择所有和这个参照点同侧的点作为平面的一侧。
[2] 这里用了角度的符号，所以暗含 $k^{'}$ 必须从 $O^{'}$ 起始。
[3] 注意记号本身不标注 $a^{'}$ 的一侧；只是说，给定了 $a^{'}$ 的一侧，射线 $k^{'}$ 是唯一的。
[4] 此处及以后总假设三角形的三个顶点不在一条直线上。
[5] 三角形本身只是三个点组成的一个集合，本身是没有顺序的。不过，全等三角形的记号 $\cong A'B'C'$ 书写必须按照对应点的顺序书写（这个和中学的讲法是一致的）。以上的全等三角形能够得出：

\equiv A'B'. AC \equiv A'C', BC \equiv B'C', \angle ABC \equiv A'B'C', \angle BAC \equiv B'A'C', \angle ACB \equiv A'B'C'

注意这里A、B、C三点不在一条直线上，A'、B'、C'亦是如此，但是这6个点之间可以有重复的点。

lebegue

对集合论中相同元素替换记号的说明（换元法）

我们在第三组公理的第5条的推论中，利用到了“全等三角形”中某些点能够重合，甚至整个角度和一条边都重合的情况。大家在中学的时候就应该已经熟悉此类技巧（有时被称为“同一法”，即如果有两个不同的点B'、B’'都符合条件就会推出矛盾，从而只能有一个点B'符合条件；如果在叙述里面允许点重合的话，也可记作 B' = B''）。

我们对重合的点（线段、直线、射线、角、平面）做一点说明：集合论中是允许相同的元素做记号的更换的，也允许不同的命题重复使用一样的记号，或者说，更换记号之前的命题能够推出更换记号之后的命题。比如说，第5条公理可以推出如下的命题：

若两个三角形 $XZ Y$ 和 $X^{'} Z^{'} Y^{'}$ 有下列合同式子

\equiv X'Z', XY \equiv X'Y', \angle ZXY \equiv Z'X'Y'

则也恒有合同式

\angle XZY \equiv \angle X'Z'Y'

如果你观察一下记号的对应关系，你会发现，只要把公理里面的 A、B、C、A‘、B'、C’ 分别换成 X、Z、Y、X'、Z’、Y‘，那么命题就成立了。如果我们再把 X、Z、Y、X'、Z’、Y‘ 换成 A、C、B、A'、C‘、B'，然后再变换一下线段、角度的书写顺序，我们就可以得到如下的命题：
若两个三角形[5]

A BC

和

A^{'} B^{'} C^{''}

有下列合同式子

\equiv A'C', AB \equiv A'B', \angle BAC \equiv B'A'C'

则也恒有合同式

\angle ACB \equiv \angle A'C'B'

我们可以看到条件和公理里面的条件完全一致，但是多出了一条新的结论。这只是集合论叙述里面替换符号（换元法）的简洁性得出的，可以看作是同一条公理。

lebegue

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lebegue

欧几里得第三、第四条公设叙述的修正

欧几里得不正确地列出了第三、第四条公设。第三条公设本身是一个概念性的定义（圆），应该修改为其他公理的定义。而第四条公设本身是不够用的（虽然欧几里得可能不那么觉得），需要扩充为一组对任何线段、角度、三角形都适用的第三组公理（合同公理）。

现在我们将重新叙述的定义和定理叙述如下。

[定义] 设 $M$ 是一平面 $α\alpha$ 上的任一点。考虑 $α\alpha$ 上的所有的那些点 $A$ ，它们使线段 $M A$ 都互相合同的。这种点 $A$ 的全体叫做一个圆， $M$ 叫做这个圆的中心。

[定义] 两个角 $∠(h,k)\angle (h, k)$ ， $∠(h′,k′)\angle (h', k')$ 共顶点，共用其中的一条边 $k = k^{'}$ ，不共用的边 $h, h^{'}$ 不重合但共一条直线，则称这两个角是邻补角。两个角 $∠(h,k)\angle (h, k)$ ， $∠(h′,k′)\angle (h', k')$ 共顶点， $h, h^{'}$ 不重合但共一条直线， $k, k^{'}$ 不重合但共一条直线，则称这两个角是对顶角。

从定义可以看出，一个角恰有两个邻补角，这两个邻补角是对顶角。一个角恰有一个对顶角。

[定义] 和它的（任何一个）领补角相等的角叫做直角。
[定理] 所有的直角都互相合同。

lebegue

第四组公理：平行公理

在非欧几何中，数学家们对“平行线”并不太感兴趣；数学系更感兴趣“测地线”、“渐近线”之类的概念。不过这些问题就超过《几何基础》的范围了。现在我们建立相当于欧几里得第五公设的平行公理。

《几何基础》中的前三组公理已经决定了，平面上过直线外任意一点都可以作出和该直线不相交的另一条直线。用中学的语言来叙述的话，就是“同位角相等的直线是平行线”，这是利用中学里面“三角形的外角大于不相邻的内角”这一结论的直接推论；这些都是可以用前三组公理来证明的。

下面的平行公理保证了平行线的唯一性，叙述如下：

1.（欧几里得公理）设 a 是任一直线，A 是 a 外的任一点，在 a 和 A 所决定的平面上，至多有一条直线通过 A，而且不和 a 相交。

[定义] 根据上文和平行公理，我们知道：在 a 和 A 所决定的平面 $α\alpha$ 上，恰有一直线，通过 A 而且不和 a 相交。我们把这条直线叫做（平面 $α\alpha$ 上）（直线 a 的）通过 A 的平行直线。

平行公理和下述的要求等价（即要求平行线具有传递性，“平行于第三条直线的两直线平行”）：
如果一平面上的 a 和 b 两直线都不和这平面的第三条直线 c 相交，那么 a 和 b 也不相交。

平行公理是一条平面公理，没有像前面三组公理一样有对应于空间的叙述。我们现在定义平行线的概念如下：

[定义] 我们称两条直线 h 和 k （互相）平行（或者说，直线 h 和 k 是平行线），如果直线 h 和 k 在同一平面上，且直线 h 和 k 没有交点。

在立体几何中，直线不相交只是说明它们不在同一平面上（相交的则根据第一组公理，必然在同一平面上），而这是稀疏平常的。（如果你对中学立体几何还有印象的话，你应该知道空间上两不同直线的关系有三种：相交、平行、异面）。不过我们可以根据平行公理来建立中学熟悉的平面与直线、平面与平面的平行关系，这里暂且不表。

lebegue

第五组公理：连续公理

实数理论在早期一直处于极其混乱的状态，很多性质被当成是理所应当的，而没有进行严格的形式推理的叙述，更没有公理体系的支持。对于欧式几何来说也是如此。我们的前四组公理已经建立了相当于欧几里得五条公设的内容，但是我们熟悉的欧式几何并不能仅靠前四组公理建立。第五组公理弥补了公理体系中缺失的环节，使得我们的公理体系符合我们常熟悉的欧式几何。

基于近代集合论的发展，数学家们发现，对于连续性的讨论也是非常重要的集合性质。下面的阿基米德公理原本是阿基米德对于实数性质的讨论，但是对于欧式几何来说，同样应当加入公理体系的最后一组公理。

（度量公理或阿基米德公理）若 $A B$ 和 $C D$ 是任意两线段，则必存在一个数[1] $n$ 使得沿 $A$ 到 $B$ 的射线上，自 $A$ 作首尾相连的 $n$ 个线段 $C D$ ，必将越过 $B$ 点。

我们在前面所有的公理中，一直没有提到和实数相关的任何概念。但是只有阿基米德公理，连同第一组到第四组公理，并不足以证明我们的几何和通常的笛卡尔解析几何[3]完全相同。
下面的完备公理不是阿基米德公理的一个推论。虽然完备公理的自然语言的叙述没有直接提到“收敛”或者类似的词，但是加上它以后，就能证明（相当于戴德金的分割的）确界的存在，和关于凝聚点存在的波尔查诺（Bolzano）定理，从而才证明了我们的几何和笛卡尔几何相同。

（直线完备公理）一直线上的点集不可能再这样的扩充，使得这直线上原来元素之间所具有的关系[1]，从关联公理、顺序公理、合同公理和阿基米德公理都仍旧保持。

这两条连续公理都是直线公理。下面的完备定理是直线完备公理的推论。

[定理]（完备定理）几何元素（点、直线和平面）形成一个集合，它保持关联公理、顺序公理、合同公理和阿基米德公理，但不能在保持全体公理的条件之下，经由点、直线和平面再进行扩充。

完备定理还可以表述成更强的性质，也就是说，在完备定理内所要求保持的诸公理中，有些不是绝对需要的。为了定理能够成立，重要的倒是在所要求保持的诸公理中包含有：

第一组公理的第7条（有公共点的两平面至少有两个不同的公共点）；
阿基米德公理。
一条完备公理若不包含上第一组公理第7条和第阿基米德公理，就将引出矛盾。

在后面的研究当中，除了应用到实数理论和解析几何的地方，我们主要只用第五组公理中的阿基米德公理作根据，而普遍地不假设完备公理。

注释：
[1] 这里的数是指正整数。有关正整数的公理，比如皮亚诺公理如何建立，不是《几何基础》所要讨论的内容。（但读者应当知道的是，皮亚诺公理里面最重要的是归纳公理，从它可以推出我们通常知道的数学归纳法。）
[2] 是指扩充之前，根据关联公理、顺序公理、合同公理和阿基米德公理，在原来的直线上已经具备的关系。
[3] 笛卡尔首先建立了代数和几何的关系，他首先建立了我们熟知的平面直角坐标系和空间直角坐标系。笛卡尔是解析几何的创始人。

lebegue

《几何基础》的第一章就更完啦！希尔伯特对欧氏几何修正的五组公理体系都全部叙述完了。

后面其实有意思的东西还有不少。我们调过了书中大部分的概念定义，中学里面常见的说法也没有给出定义。重建中学里面欧式几何的体系肯定是要完成的，不过我会尽量让叙述显得不太啰嗦，突出主干，然后杂碎的包括中考高考里面的概念题就不多讲了（虽然《几何基础》读下来概念的严谨程度肯定是远远大于中学的，毕竟我们有完整的形式逻辑体系，而中学的数学，不客气的说，只是一些约定俗成说法和做法的合集）

《几何基础》后面几章和附录里面，比较有意思的（也是中学里面大家喜闻乐见的）是面积理论和相似三角形。笛沙格定理之类的就要晦涩一些，对这些平面几何的经典定理感兴趣可以看《近代欧式几何学》，我就不多说了。解析几何当然也是大家喜闻乐见的，这肯定也会讲。附录4里面群论和极限点的东西有些像微分几何了，这就不太敢多说了，估计就不讲了？

希尔伯特《几何基础》就先暂时告一段落啦！后面有想讲的还会开新帖继续更新。