来道数学题

[wumingshi]

请构造一个定义在 [0, +∞) 上的连续函数，使得：
一，当 x 趋向于正无穷时，lim f(x) = 0，且 lim f'(x) 不存在；
二，f(x) 是严格单调递增函数；
三，f(x) 任意阶可导。

[游客]

好眼熟。楼主给个难度划分吧，数分的知识够吗

[游客]

Mathematica analytic了解下

[yhtq]

取 $f^{\prime }(x)={\sin }^2(x^2)$，恒正（且零点集零测） + 无穷阶可导 + 无穷处极限不存在 + 无穷积分收敛 （$0\le {\int }_a^b{\sin }^2(x^2)dx\le \frac{1}{a}{\int }_a^{b}x{\sin }^2(x^2)dx\le \frac{2}{a}$，柯西法则立得收敛 ）

[wumingshi]

@yhtq 看到你的构造我在想，有没有可能加上下面这些条件后，仍然是可以构造出实例的：
一，f'(x)在 [0, +∞) 上有定义
二，f'(x) 无界
三，对于任意小的正数 Δx 和任意大的正数 x0，都存在 x1 > x0，使得 f'(x) 在 (x1, x1+Δx) 上存在两个零点。
不要求任意阶可导用分段的方式好像还挺直观的，不知道任意阶可导应该怎么构造

想想感觉自己只是想了个纯堆技巧的平凡的题目，有点无趣

[游客]

这条件三没啥意义啊（直接取极值点附近就行），只要求无界的话稍微乘个幂函数就行

[游客]

你这个题从直观的想能不能这样：一系列面积相等但越发尖锐的波包乘以一个衰减的函数并积分？
比如构造

$${\delta }_n(x)=n!e^{-\frac{1}{n!x}-\frac{1}{1-n!x}}$$

(并且在其他地方都令其为0)，显然这个函数积分值和n无关。
令

$$f^{{}^{\prime }}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\delta }_n(x-5n)e^{-n}$$

显然f(x)存在(积分收敛性很好),但是显然x趋于无穷时f'(x)是无界的

[游客]

说实话用exp(-1/x)这种函数构造分段任意阶可导就是非常显然的了